KONSEP HIMPUNAN

 

A.    PENGERTIAN HIMPUNAN

Cobalah kalian melihat semua yang ada di parkiran sekolah, maka di sana akan ada kumpulan sepeda, kumpulan sepeda motor, dan kumpulan mobil. Dalam matematika kumpulan diganti dengan himpunan sehingga kumpulan sepeda menjadi himpunan sepeda, kumpulan sepeda motor menjadi himpunan sepeda motor, dan kumpulan mobil menjadi himpunan mobil.

Namun tidak setiap kumpulan bisa disebut himpunan, hanya yang memiliki keanggotaan yang jelas saja yang dapat disebut himpunan, misalnya kumpulan bunga indah. Kumpulan bunga indah tidak termasuk himpunan karena bunga indah menurut pendapat seseorang belum tentu indah menurut pendapat yang lain. Sehingga dapat disimpulkan bahwa himpunan adalah kumpulan benda-benda yang dapat didefinisikan dengan jelas.

contoh:

1.     Himpunan hewan berkaki empat, anggotanya jelas, yaitu sapi, kuda, kerbau, kucing, anjing, kambing, dan sebagainya.

2.     Himpunan bilangan asli, anggotanya jelas, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …

 

B.    PENYAJIAN HIMPUNAN

Suatu himpunan dapat disajikan dengan 3 cara, yaitu:

1.     Dengan mendaftar anggotanya (metode Roster/ enumerasi/ tabulasi)

2.     Dengan kata-kata/menyatakan sifat yang memiliki anggotanya (deskripsi)

3.     Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/ metode rule)

OPERASI HITUNG CAMPURAN PADA BILANGAN PECAHAN

 

OPERASI PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN PECAHAN

 

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan

 

Membandingkan Bilangan Pecahan

 

A.    Arti Pecahan

B.    Menyederhanakan Bilangan Pecahan

C.    Membandingkan Dua Pecahan

1.     Membandingkan dua pecahan berpenyebut sama cukup dengan membandingkan pembilangnya.

Jika pembilang suatu pecahan lebih dari pembilang pecahan yang lain, nilai pecahan tersebut lebih dari nilai pecahan yang lain, dan sebaliknya.

Contoh:

 

2.     Membandingkan dua pecahan berpenyebut tidak sama dilakukan dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu, lalu membandingkan pembilangnya.

Contoh:

OPERASI HITUNG CAMPURAN

A.    Pengertian Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat

Operasi hitung campuran adalah operasi hitung bilangan yang memuat sekurang-kurangnya dua tanda operasi hitung berbeda.

Misalnya:

a.     5 + (-2) x 4                   ¬ memuat tanda operasi hitung + dan x

b.     -6 + 18 : 3 – 12            ¬ memuat tanda operasi hitung +, :, dan -

c.     4 + (-9) x (-16) – 25      ¬ memuat tanda operasi hitung +, x, dan -

 

B.    Aturan Operasi Hitung Campuran

Dalam operasi hitung campuran menggunakan aturan atau urutan pengerjaan berikut:

a.     Kerjakan terlebih dahulu operasi dalam kurung.

b.     Kerjakan perkalian atau pembagian.

c.     Kerjakan penjumlahan atau pengurangan.

d.     Pada penjumlahan dan pengurangan yang berurutan, maka dikerjakan dari depan. Begitu juga pada perkalian dan pembagian yang berurutan, maka dikerjakan dari depan:

Perhatikan contoh berikut:

(-15 + (-12)) : (-3) – 10 x (-2) ¬ dalam kurung dan perkalian didahulukan

= -27 : (-3) – (-20)

= 9 – (-20)

= 9 + 20

= 29

Dalam operasi hitung campuran ini yang perlu ditekankan adalah bentuk perkalian dan pembagian harus didahulukan daripada penjumlahan atau pengurangan.

 

C.    Sifat – sifat dalam Operasi Hitung Campuran

Dalam operasi hitung campuran berlaku sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan/ pengurangan

a x (b + c)  = (a x b) + (a x c)

a x (b – c)   = (a x b) – (a x c)

contoh:

-5 x (4 + 8)             = -5 x 4 + (-5) x 8

-6 x (-5 – 4)            = -6 x (-5) – (-6) x 4

1.     Tentukan hasil operasi hitung bilangan bulat berikut:

a.     8 + (-12) x 2 – (-5)

b.     -12 : (-3) + 6 x (-7)

 

 

2.     Seorang pedagang dalam bergadang selama satu minggu mengalami untung dan rugi. Pedagang tersebut untung Rp100.000,00 sebanyak dua kali, rugi Rp25.000,00 sebanyak 3 kali, dan untung Rp150.000,00 sebanyak 2 kali. Tentukan jumlah pendapatan pedagang tersebut selama satu minggu.

 

3.     Suhu udara di kota X pada pukul 06.00 tercatat -6⁰C. Ssetiap jam suhu udara naik 3⁰C. Tentukan suhu udara di kota X pada pukul 11.00.

 

 

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

A.    PERKALIAN BILANGAN BULAT

Operasi perkalian adalah operasi penjumlahan berulang.

Contoh:

Andi membeli sirup obat batuk di apotek. Dalam aturan minum, Andi harus meminum obat itu sebanyak 3 x 1 sendok teh. Berapa sendok teh Andi harus minum dalam sehari?

Jawab:

Dalam aturan minum Andi harus minum 3 x 1 sendok teh. Berarti Andi harus minum sehari 3 kali, yaitu pagi, siang, dan sore hari. Dan setiap minum obat sirup tersebut hanya 1 sendok teh. Jadi, jika ditulis dalam kalimat matematika 3 x 1 adalah:

= 1 sendok teh di pagi hari  + 1 sendok teh di siang hari  + 1 sendok teh  di sore hari

= 1 + 1 + 1

= 3 sendok teh

Jadi dalam operasi perkalian berlaku:

Jika a x b maka merupakan penjumlahan berulangan bilangan b sebanyak a suku atau dapat ditulis sebagai berikut.

1.     Operasi Perkalian Bilangan Bulat

Pada bilangan bulat terdapat bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Jika bilangan bulat positif dimisalkan (+) dan bilangan bulat negatif dimisalkan (-), maka pada perkalian bilangan bulat berlaku:

 

2.     Sifat – Sifat Perkalian Bilangan Bulat

a.     Komutatif (pertukaran)

Perkalian dua bilangan bulat selalu sama.

 Contoh:

1)     3 x (-2) = (-2) x 3 = -6

2)     -4 x (-6) = -6 x (-4) = 24

 

b.     Asosiatif (pengelompokan)

  

Contoh:

3 x [(-4) x 5] = 3 x (-20)                     [3 x (-4)] x 5 = -12 x 5

                   = -60                                               = -60

 

c.     Distributif (penyebaran)

1)    










Distributif perkalian terhadap penjumlahan

  

Contoh:

a)     4 x (3 + 2)               = (4 x 3) + (4 x 2)

4 x 5                       = 12 + 8

20                           = 20

b)     3 x [2 + (-5)]            = (3 x 2) + [3 x (-5)]

3 x (-3)                    = 6 + (-15)

-9                           = -15

 

2)    Distributif perkalian terhadap pengurangan

  

Contoh:

a)     2 x (5 – 3)                = (2 x 5) – (2 x3)

2 x 2                       = 10 – 6

4                            = 4

b)     5 x [4 – (-2)]             = (5 x 4) – [5 x (-2)]

5 x 6                       = 20 – (-10)

30                           = 30

 

d.     Unsur Identitas

Bilangan bulat jika dikalikan dengan unsur identitas maka hasilnya  bilangan itu sendiri.

Unsur identitas pada perkalian bilangan bulat adalah 1 (satu).

 Contoh:

1)     3 x 1 = 1 x 3 = 3

2)     -4 x 1 = 1 x (-4) = -4

 

e.     Tertutup

Hasil dari perkalian dua bilangan bulat adalah bilangan bulat

Contoh:

1)     2 x 3 = 6

2)     4 x (-2) = -8

3)     -3 x 5 = -15

4)     -2 x (-6) = 12

 

f.      Sifat bilangan nol

Perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol atau sebaliknya maka akan menghasilkan nilai 0 (nol).

Contoh:

1)     4 x 0 = 0 x 4 = 0

2)     -3 x 0 = 0 x (-3) = 0

 

B.    PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

Pengerjaan hitung pembagian merupakan pengurangan berulang sampai habis. Pengerjaan hitung pembagian juga merupakan invers (kebalikan) dari perkalian.

10 : 5 = 10 – 5 – 5 = 0 sehingga 10 : 5 = 2 atau 10 : 5 = 2 karena 5 x 2 = 10

12 : 4 = 12 – 4 – 4 – 4 = 0 sehingga 12:4=3 atau 12:4=3 karena 4 x 3 = 12

Kesimpulannya:

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat maka berlaku:

 

Sifat – sifat pembagian dua bilangan bulat sebagai berikut:

1.    Jika bilangan bulat positif dimisalkan (+) dan bilangan bulat negatif dimisalkan (-), maka pada pembagian bilangan bulat berlaku:

            Contoh:

a)    10 : 2         = 5

b)    10 : (-2)      = -5

c)     -10 : 2        = -5

d)    -10 : (-2)    = 5

 

2.     Tidak bersifat tertutup

Hasil dari pembagian dua bilangan bulat belum tentu merupakan bilangan bulat.

Contoh:

3.      Untuk a bilangan bulat dan a ≠ 0 berlaku 0 : a = 0

Contoh:

a)    0 : 13          = 0

b)    0 : (-6)        = 0

 

4.     Setiap bilangan bulat dibagi 0 (nol) hasilnya tidak terdefinisi

Contoh:

a)    5 : 0           = tidak didefinisikan

b)    -11 : 0        = tidak didefinisikan

 

 

 

1.     Tentukan hasil operasi perkalian berikut:

a.                

2.     Tentukan hasil operasi pembagian berikut:

a.                

3.     Suhu besi yang didinginkan turun sebesar 2^oC setiap 3 menit. Tentukan:

      .   

4.     Amir dan Drajat memelihara ayam. Ayam Amir sebanyak lima kandang dengan setiap kandang berisi 30   ekor. Ayam Drajat sebanyak enam kandang dengan setiap kandang berisi 5 kurang dari isi kandang Amir.   Tentukan banyak ayam yang dimiliki Amir dan Drajat.