PENJUMLAHAN MODEL GAUSS

d.   Pernahkah kalian menemukan latihan soal seperti ini?

                                         1 + 2 + 3 + 4 + … + 64 berapakah nilai yang diperoleh                          Nilainya adalah 2.080. tentu kalian akan befikir kok bisa ya …

Cara menentukan hasil penjumlahan bilangan di atas adalah dengan menggunakan model Gauss (1777 – 1855). Yaitu seorang matematikawan termasyhur berkebangsaan Jerman. Ketika ia berusia 10 tahun, bersama teman sekelasnya mendapat tugas dari gurunya untuk menjumlahkan bilangan berurutan dari 1 sampai dengan 100. Gurupun mengira akan membutuhkan waktu yang cukup lama untuk menyelesaikan soal tersebut. Namun, Gauss hanya membutuhkan waktu yang singkat. Caranya adalah sebagai berikut:

OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT

Operasi pada bilangan bulat dapat dikerjakan dengan bantuan garis bilangan. Bilangan bulat positif berarti melangkah ke arah kanan sedangkan bilangan bulat negatif melangkah ke arah kiri.

1.    Penjumlahan Bilangan Bulat

a.    Langkah-langkah menentukan hasil penjumlahan bilangan bulat dengan garis bilangan :

1)    Memulai melangkah dengan posisi nol.

2)    Melangkah maju untuk menyatakan bilangan bulat positif dan melangkah mundur untuk menyatakan bilangan bulat negatif.

3)    Tidak melangkah atau tetap di tempat untuk menyatakan nol.

4)    Arah/langkah dilanjutkan jika operasi penjumlahan.

5)    Arah/langkah berbalik jika operasi pengurangan.

 

Contoh:

Tentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dari bilangan bulat berikut!

1. 3 + 2

2. 5 - (-2)

3. -2 – 3 

Jawab:

1. 3 + 2

3 artinya 3 langkah maju 

+ artinya dilanjutkan 

2 artinya  2 langkah maju

Maka didapat  3 + 2 = 5

2. 4 + (-2)

4 artinya 4 langkah maju 

+ artinya dilanjutkan 

-2 artinya  2 langkah mundur

Maka didapat  4 + (-2) = 2

3. 5 - (-2)

5 artinya 5 langkah maju

- artinya berbalik

-2 artinya 2 langkah mundur

Maka didapat  5 - (-2) = 7

 

d. -2 -3

-2 artinya 2 langkah mundur

- artinya berbalik

3  artinya 3 langkah maju

Maka didapat  -2 - 3 = -5

1. Penjumlahan secara langsung

Misalkan a dan b bilangan bulat, maka: 

a + b = a + b

-a + (-b) = -(a + b)

a + (-b) = a – b

-a + b = -(a - b)

Contoh:

2. Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat

1. Komutatif (pertukaran)

Jumlah kedua bilangan bulat selalu sama

Contoh:

4 + (-1) = (-1) + 4 = 3

2. Asosiatif (pengelompokan)

Contoh:

4 + [(-1) + 2]  = 4 + 1 [4 + (-1)] + 2  = 3 + 2 

     = 5           = 5

3. Unsur Identitas

Bilangan bulat jika dijumlahkan dengan unsur identitas maka hasilnya bilangan itu sendiri.

Unsur identitas pada penjumlahan bilangan bulat adalah 0 (nol).

Contoh:

6 + 0 = 0 + 6 = 6

4. Tertutup

Hasil dari penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat.

Contoh:

2 + 1 = 3

7 + (-3) = 4

5. Mempunyai invers (lawan)

Penjumlahan bilangan bulat dengan inversnya (lawannya)

akan menghasilkan nilai 0 (nol).

Contoh:

4 + (-4) = (-4)  + 4 = 0

1. 
   

2. Pengurangan Bilangan Bulat

1. Cara melakukan pengurangan bilangan bulat

Pengerjaan hitung penjumlahan dan pengurangan merupakan dua operasi hitung yang saling berlawanan.

Hal ini berarti pengurangan a oleh b sama dengan penjumlahan a dengan lawan b.

Contoh:

Perhatikan pola pengurangan berikut:

7 – 5 = 2

5 – 7 = 5 + (-7)  = -2

14 – 6 = 8

6 – 14 = 6 + (-14)  = -8

2. Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat

Pengurangan pada bilangan bulat bersifat tertutup.

 

1.     Tentukan hasil penjumlahan beruntun berikut.

a.     -6 + (-12)  + 8

b.     -10 + 13 + (-9)     

Pembahasan

a.     -6 + (-12)  + 8

= (-6 + (-12)) + 8

= -18 + 8 = -10

b.     -10 + 13 + (-9)     

= -10 + (13 + (-9))     

= -10 + (-9 +13)     

= (-10 + (-9)) +13

= -19 + 13 = -6

 

2.     Tentukan hasil pengurangan berikut.

a.     14 - (-8) – 5
b.    -6 - (-10) - (-7)

Pembahasan

a.     14 - (-8) – 5

= 14 + 8 – 5

= 22 – 5

= 17

b.     -6 - (-10) - (-7)

= -6 + 10 + 7

= -6 + 17

= 11

 

3.     Diketahui suhu di puncak Jaya Wijaya -6^oC, sedangkan suhu di Jakarta 33^oC.

Hitunglah selisih suhu di kedua tempat tersebut.

Pembahasan

Selisih         = suhu terbesar – suhu terkecil

                  = 33 - (-6)

                  = 33 + 6

                  = 39

Jadi, selisih suhu di kedua tempat adalah 39^oC

 

4.     Pesawat udara berada pada ketinggian 2.500 meter di atas permukaan air laut.

Kapal selam berada pada kedalaman 40 meter di bawah permukaan air laut.

Jika pada saat yang sama pesawat udara naik 160 meter dan kapal selam naik 10 meter,

tentukan jarak vertikal antara pesawat udara dan kapal selam saat ini.

Pembahasan

Permasalahan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

Jarak           = (2.500 + 160) - (-40 + 10)

                  = 2.660 - (-30)

                  = 2.660 + 30

                  = 2.690 m

Jadi, jarak antara pesawat udara dan kapal selam adalah 2.690 meter.